Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Schönen guten Morgen, die wenigen Tapfrimm, die schon ein Viertel nach acht da sind.

Herzlich willkommen. So, wir hatten beim letzten Mal angefangen, uns mit den Grundlagen der

Elastostatik zu beschäftigen und ein wesentlicher Begriff, der ist beim letzten Mal schon gefallen,

das sind die sogenannten Spannungen. Und was versteht man darunter? Das hatte ich beim letzten Mal

schon gesagt, das sind die auf die Fläche bezogenen Kräfte, das heißt, man schaut sich hier an,

man sieht den Schnitt durch so einen Stab oder Balken, auf dem habe ich hier die Querschnittsfläche

A, das ist also meine Schnittfläche hier und wenn ich die Schnittgrößen berechne, stelle ich ja fest,

dass es da irgendeine Normalkraft, eine Querkraft oder Biegemoment gibt, meinetwegen auch in alle

Richtungen, hier noch ein Torsionsmoment, was weiß ich, also ich kann irgendwelche Schnittgrößen berechnen,

die bekomme ich als Kraft oder Moment heraus, aber die resultieren natürlich aus einer Verteilung

dieser Kraft oder dieses Momentes über die Fläche, das heißt, ich kann mir hier so ein kleines

Stückchen Fläche rausschneiden, das ist irgendein, das nenne ich mal Delta A und auf dieses Delta

A wirkt jetzt irgendwie ein Kraftvektor, ein Anteil dieser Kraft, Delta F als Vektor und auch

irgendwie meinetwegen in irgendeine Richtung hier ein Delta M als Momentenvektor und jetzt kann man

folgendes definieren, wenn ich das vektoriell schreibe, dann mache ich mal hier einen Vektorpfeil

drüber und hier auch, ich definiere mir den Spannungsvektor mit Sigma bezeichnet als der

Grenzwert von Delta A gegen Null von dem Delta F als Vektor geteilt durch Delta A, das heißt,

als ich beziehe, teile Delta F durch das kleine Flächenstück, habe ich also einen Anteil der

Kraft bezogen auf den Anteil der Fläche, über den es wirkt und dann mache ich die Fläche immer

kleiner, bis ich sozusagen auf einer infinitesimal kleinen Fläche angekommen bin und dann ist dieser

Grenzübergang, dann wird aus dem endlichen Delta hier ein Df, also ein infinitesimaler Anteil Kraft

bezogen auf ein infinitesimales kleines Stückchen Da. Das ist der Spannungsvektor, also kleines

Kräftchen bezogen auf kleines Flächchen, wenn man das so sagen möchte. Das gleiche könnte ich

machen mit dem Momentenvektor, ich könnte einen verteilten Momentenvektor einführen als Momenten

Spannungsvektor sozusagen, als Delta A gegen Null von dem Delta M bezogen auf Delta A,

das würde ein dm dA, könnte man also ganz genauso machen, diesen Anteil betrachtet man in der klassischen

Mechanik aber nicht. Also das hier, die sogenannten Momenten Spannungen werden

vernachlässigt, trotzdem gibt es ein resultierendes Moment. Das Schnittmoment, das Biegemoment,

das gibt es natürlich, aber das kann ich auch allein aus diesen Spannungen Sigma produzieren,

weil das Sigma natürlich hier über die Fläche verteilt sein kann und dann gibt es hier sozusagen

hier oben ein Sigma und hier unten ein Sigma, das hat irgendwelche Hebelarme bezüglich vielleicht

Achsen, die durch den Schwerpunkt gehen der Fläche, werden wir später sehen und diese Hebelarme mit

dem Sigma führen auch zu einem Moment Groß M, das ich hier als Biegemoment habe und nur diesen

Anteil betrachtet man in der klassischen Continuum Mechanik, diese Momenten Spannungen tauchen nur

in sehr sehr speziellen Theorien auf, sogenannte Cossara Theorie nach den Brüdern Cossara, zwei

Franzosen, die also eine Continuum Theorie entwickelt haben, bei denen auch diese Momenten Spannungen

verwendet werden, aber das ist also wirklich high end. Es gibt selbst bei Vertiefungsvorlesungen

nicht lineare Continuum Mechanik, also taucht das nicht auf, das ist also jenseits von Gut und Böse,

ist sehr sehr speziell, es gibt auch Leute, die behaupten, man braucht das überhaupt nie,

also es gibt auch alles, was man damit rechnen kann, kann man auch mit klassischer Theorie rechnen,

diese Theorie wird häufig so auch mehr als Spielzeug angesehen, also da streiten sich die

Gelände, also wir werden das nicht machen, für uns gibt es nur diese normalen Spannungen,

die aber natürlich ebenfalls, wie wir sehen werden, die Berechnung eines Schnittmomentes erlauben.

So die Spannung, also mechanische Spannung, hat die Dimension Kraft pro Fläche, wird typischerweise

in Pascal angegeben und das ist 1 Newton pro ein Quadratmeter. Nun ist für mechanische Probleme,

Ingenieuranwendung, ein Newton pro Quadratmeter gar nichts, das ist also eine winzig kleine

Spannung, das ist so eine Fliege, die auf dem Blatt Papier sitzt, da passiert nicht viel,

deshalb rechnet man häufig in Megapascal, das sind also 10 hoch 6 Pascal und das entspricht 1 Newton

pro ein Quadratmillimeter und dann hat man handhabbare Zahlen, man muss nicht mit diesen