Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Hallo, wir machen also weiter in unserem Kapitel über die Analyse mit mehreren

veränderlichen. Wir haben ja in der letzten Vorlesung über Städtigkeit und Grenzwerte

gesprochen in diesem Fall und jetzt kommen wir zu den Ableitungen. Wir haben ja jetzt nicht nur

eine Variable, sondern n Variablen. Aber wenn wir alle bis auf eine Variable festhalten,

ist es wieder nur eine Variable und so können wir nach jeder einzelnen Komponente ganz normal

ableiten, so wie wir es bisher gemacht haben. Und das nennt man die partielle Ableitung. Also

man nimmt zum Beispiel die erste Variable nur als Variable und hält x2, x3 und so weiter die

restlichen Variablen fest und leitet dann nach x1 ab mit der Ableitung, wie wir sie schon kennen.

Das nennt man dann die partielle Ableitung nach der ersten Variablen und das definieren wir jetzt.

Es geht also in dem Kapitel um die Differenziation von Funktionen,

mehrere veränderlicher.

Ich wiederhole nochmal kurz die Definition der Ableitung, die wir schon kennen. Die Ableitung

ist ja definiert als Grenzwert der Differenzenquotienten. Also bisher hatten wir eine Funktion f von r nach r.

Dann war die Ableitung f' von x0 als Grenzwert definiert. Liemers für x gegen x0, f von x minus f

von x0 geteilt durch x minus x0. Also hier ist ein Quotient und da muss im Nennerjahr eine Zahl

stehen und das ist eine Zahl, weil wir hier nur eine einzige Variable haben. Kann man auch schreiben

als den Grenzwert Liemers für h gegen 0 von f von x0 plus h minus f von x0 geteilt durch h.

Auf der Grundlage dieser Definition leiten wir jetzt unsere Funktion, die eigentlich auf dem

ganzen r hoch n definiert ist, also von n Variablen abhängt nach den einzelnen Variablen ab.

Analog. Ableitungen von der Funktion f von r hoch n nach r nach einzelnen

Komponenten. Und das nennt man partielle Ableitung, weil man eben nicht nach allen

Komponenten gleichzeitig ableiten kann, sondern nur nach jeweils einer und nach einem Teil.

Wenn man das jetzt formal sauber hinschreiben will, wird es etwas unübersichtlich, aber das

Prinzip ist ganz einfach, so wie wir es schon gesagt haben. Jetzt die Definition. Es sei in

unser Definitionsbereich d eine Teilmenge im r hoch n. Unsere Funktion f ist reellwertig,

sie geht von d nach r und wir sitzen im Punkt x0 in d, das ist ein innerer Punkt von d.

Und jetzt definieren wir die partielle Differenzierbarkeit. Funktion f heißt in

dem Punkt x0, partiell Differenzierbar nach xk, das ist die Karte Variable.

Das k ist also ein Index zwischen 1 und n, falls der Grenzwert, und jetzt schreiben wir

den entsprechenden Grenzwert hin wie eben, also lims für h gegen 0. Und jetzt haben wir f,

das hängt von x1, 0, das ist die erste Komponente von x0, x2, 0, das ist die zweite Komponente von

x0 und so weiter ab. Das geht bis zur K-1 Komponente von x0, dann kommt x0k plus h und dann x0k plus 1,

bis die nte Komponente erscheint. Also hier haben wir genau hingeschrieben, dass nur an der Karten

Komponente von x0 gewackelt wird und die anderen bleiben fest. Das ist nichts weiter als das.

Und davon ziehen wir ab, f von x0, das ist der ungestörte Punkt. Und jetzt können wir auch hier

durch h teilen, weil h eine Zahl ist. Hier ändern wir ja nur an einer Komponente etwas,

und das machen wir, indem wir die Zahl h addieren, also durch diese Zahl können wir auch teilen,

solange sie nicht 0 ist. Also das ist die partielle Ableitung, also wenn sie existiert,

falls der Grenzwert existiert. Der Grenzwert heißt dann partielle Ableitung von f

nach xk im Punkt x0. Und jetzt brauchen wir natürlich auch eine Notation dafür, für diese

partielle Ableitung, da reicht der Strich nicht mehr aus. Für die Ableitung, weil wir ja noch

hinschreiben müssen, nach welcher Variable hier abgeleitet wird, also und da muss das xk irgendwie

vorkommen. Deshalb führt man folgende Bezeichnung ein. df nach dxk an der Stelle x0, das ist die eine

Bezeichnung. Da schreibt man also d nach dxk links, oder das f, kann das auch in den Index kleben,

also f und dann unten xk von x0. Das heißt auch, man leitet die Funktion f nach xk ab. Und Sie sehen,

hier macht man größere Zeichen, das können Sie vielleicht besser lesen, aber zum Schreiben ist

die andere Notation bequemer, weil man da nur einmal das xk hinschreiben muss, nachdem man hier

ableitet. Und jetzt schreibe ich nochmal in einem Satz hin, was passiert, wenn man partiell

differenziert, man erhält also die partielle Ableitung nach einer Variablen xk.