In diesem neuen Abschnitt der Vorlesungen wollen wir uns mit Tensoren und Tensorprodukten beschäftigen.

Es ist ein relativ abstraktes Thema, das wir hier behandeln wollen, innerhalb der Vektoranalysis.

Da der Begriff in sehr vielen verschiedenen Kontexten, innerhalb der Physik, aber auch in anderen mathematischen Gebieten, genutzt wird,

ist es relativ schwierig, ein allumfassendes Bild von Tensoren und Tensorprodukten zu geben,

ohne dass man sich dabei in verschiedensten Definitionen und Anwendungsmöglichkeiten verliert.

Aber wir wollen dennoch versuchen, das Ganze ein bisschen aus dem Blickpunkt der Physik zu beleuchten

und uns klarzumachen, mathematisch, worum handelt es sich eigentlich bei Tensoren und Tensorprodukten.

Damit das Ganze nicht einfach vom Himmel fällt und wir direkt mit der abstraktesten Definition anfangen,

habe ich mir überlegt, wir starten mit einer kleinen Motivation, auch aus dem Bereich der Physik.

Und zwar wollen wir uns in diesem Video anschauen, was denn der Cauchy-Spannungstensor ist.

Der wird in unterschiedlichen Bereichen der Physik verwendet, wie zum Beispiel auch in der klassischen Mechanik.

Und wo kommt das überhaupt her? Das Wort Tensor, damit möchten wir vielleicht beginnen.

Also vermutlich wurde der Begriff Tensor erstmalig von Hamilton in der Mitte des 19. Jahrhunderts eingeführt

und leitet sich vom lateinischen Wort tendere, also spannen, ab.

Und da hört man schon, es geht irgendwie um Spannung, es geht um Elastizitätstheorie,

das heißt, in dem Kontext wurde dieser Operator, den wir uns anschauen werden, in der nächsten Woche hergeleitet.

Wir fangen mal an mit dem Cauchy-Spannungstensor. Worum geht es da insgesamt?

Wir wollen uns überlegen, wir haben ein Volumen, ich versuche jetzt mal einfach eine Art Zylinder zu malen,

von der Seite, das heißt, das wird jetzt erstmal relativ langweilig, einfach nur so eine Fläche sein.

Ja, und wir stellen uns vor, das Ganze sei zylinderisch, das heißt, wir haben eine runde Grundfläche.

Und dieser jetzt mal ein Volumen, auf das wir eine Kraft ausüben wollen, von außen,

das heißt, da werden von außen Kräfte gegen dieses Volumen einwirken, das kann irgendwelche Kraftvektoren sein.

Und die Frage, die man sich jetzt stellt in der Physik, ist, welche Spannung, sprich, welche Kraft pro Fläche,

wirkt jetzt im Inneren dieses Volumens an gewissen Punkten?

Und das Ganze macht man klassischerweise bei äußeren Belastungen mit der sogenannten Euler-Cochy-Spannungsprinzip.

Und das beschreibt, quasi, welche Spannungen auf Grundflächen ausgeübt werden, wenn ich dieses Volumen in zwei Teile trennen würde.

Das heißt, die Grundidee ist es erstmal, dass man in das Innere schaut virtuell, das heißt, man überlegt sich,

wie sieht das Ganze von innen aus, also wir müssen das Ganze jetzt mal versuchen aufzuschneiden.

Ich versuche das zu malen, im Skript ist das natürlich wesentlich professioneller gezeichnet.

Das heißt, wir machen mal so einen Schnitt.

Das sei die linke Hälfte und wir schauen uns in diesem Schnitt einen Punkt P an.

Und für den möchten wir gerne wissen, wie sieht es denn in diesem Punkt P, der auf der Schnittfläche liegt,

wenn ich den Zylinder durchgeschnitten habe, mit der Spannung aus, die quasi dadurch entsteht, dass von außen Kräfte auf diesen Zylinder einwirken.

Genau, jetzt ist es so, man kann jetzt sozusagen eine Art Spannungstensor aufspannen,

einen Spannungsvektor aufspannen, Entschuldigung, und dieser Spannungsvektor, der beschreibt sozusagen die Kraft pro Fläche,

sprich die Kraft, die auf diese Schnittfläche wirkt.

Das Ganze können wir mal versuchen zu zeichnen.

Ich gehe dafür ein bisschen näher ran.

Das heißt, wir interessieren uns jetzt im Prinzip für Vektoren dieser Art im R3, wir sind im dreidimensionalen Raum,

die uns sagen, wie sieht denn die Spannung in diesem Punkt bezüglich einer normalen N aus?

Und was ist die normale N?

Naja, das ist gerade die äußere normale auf die Schnittfläche gezeichnet.

Das ist sozusagen hier.

Und da kann man natürlich in diese Richtung die Spannung messen.

Das ist die sogenannte normalen Spannung.

Und es gibt aber auch Komponenten, die in der Ebene liegen, also in der Schnittfläche.

Das sind die sogenannten Schubspannungen oder auch Scherspannungen genannt.

Das heißt, hier werden auch Kräfte auftreten innerhalb der Schnittfläche.

Genau, und dann müssen wir das Ganze noch in die dritte Dimension malen.

Das heißt, da liegen wir wirklich in diesem Kreis und das werden dann auch Spannungen sein, die hier gemessen werden.