Schönen guten Tag meine Damen und Herren. Auch Ihnen noch etwas verspätet ein frohes neues Jahr.

Ich bin hoch erfreut, dass doch so viele wieder gekommen sind und den Weg sozusagen zurückgefunden haben.

Beim letzten Mal hatten wir in Abschnitt 2.62 geendet.

Das war Spannungstransformation

und Hauptspannung.

In 2D konnte man in einem gedrehten XC-System das Sigma ausrechnen.

Das war der Winkel, den man in das Koordinatensystem gedreht hat.

Das Sigma eta eta war ein halb Sigma xx plus Sigma yy minus ein halb Sigma xx minus Sigma yy Markosinus 2 alpha

und hier auch Minus tau xy Sinus 2 alpha und die Schubspannung tau xi eta.

Die war hier gegeben durch Minus ein halb Sigma xx minus Sigma yy Markosinus 2 alpha plus tau xy Cosinus 2 alpha.

Wenn man jetzt da für diese Größen eine Kurvendiskussion durchgeführt hat, konnte man den Winkel bestimmen, unter dem zum Beispiel Sigma xi xi und Sigma eta eta maximal oder minimal werden.

Das sind dann die Hauptnormalspannungen und das zugehörige Alpha dann die Hauptnormalspannungsrichtung.

Wenn die maximal bzw. minimal werden, hatten wir gesehen, verschwindet gleichzeitig das tau xi eta.

Das heißt in den Hauptspannungsrichtungen gibt es keine Schubspannung.

Das ist genau die Richtung, in der keine Schubspannung auftreten, in den entsprechenden Schnitten.

Und umgekehrt, wenn das tau xi eta hier maximal wird, dann werden die hier auf gleiche Werte gehen.

Wir können uns diese Sachen nochmal an ein paar kleinen Beispielen visualisieren.

Dazu konnte man diesen Morschen Spannungskreis, das nichts anderes ist als eine grafische Darstellung dieser Transformationsbeziehungen, anschauen.

Da konnte man ja das zeigen, also der Morsche Spannungskreis, konnte man, also im Skript ist jetzt hier das tau oder Sigma xi eta nach oben aufgezeichnet.

Und das Sigma xi xi Sigma eta eta, also die Normalspannung in die horizontale Richtung.

Dann kann man den konstruieren, diesen Kreis, bin ich also Sigma xx, Sigma yy und Sigma xy, das wir tau xy gegeben haben,

indem man sich zunächst einmal den Mittelpunkt ermittelt des Kreises, der liegt genau bei 1,5 Sigma xx plus Sigma yy.

Also es ist dieser Abstand hier, Sigma xx plus Sigma y halbe.

Wenn ich mir hier eintrage, meinetwegen Sigma xx und vielleicht hier Sigma yy, oder ich mache es mal andersrum, yy und das xx hier hin,

so würde ich mir die eintragen und ich mache die Achse mal ein bisschen länger hier.

Dann würde man jetzt auch auftragen am Sigma xy, die sind ja gleich groß, also Sigma xy ist gleich Sigma yx,

das gilt dieses Gesetz der zugeordneten Schubspannung, das trägt man sich auf und zwar an dem Sigma xx nach unten,

also diese Vorzeichenregel, damit das mit den Winkeln gleich hinhaut, trägt man das so auf, das heißt ich habe hier Sigma xy und Sigma yx

über diesem hier positiv, aber es ist natürlich betragsmäßig gleich.

So, und jetzt habe ich hier den Mittelpunkt und dann ist diese Strecke hier, die hier drüben weitergeht, der Radius des Kreises

und dann kann ich den Kreis konstruieren, also einfach zeichnen, indem ich jetzt hier einen Kreis mit diesem Radius,

der läuft hier irgendwie, der muss da durchgehen, naja also das ist kein schöner Kreis, aber ungefähr so sieht er aus, er kann also hier auf die andere Seite gehen

oder gerade die Null berühren, das ist jetzt, ich habe jetzt einen Sonderfall konstruiert, das ist Zufall, das wollte ich eigentlich nicht,

also das kann links oder rechts der Schubspannungsachse liegen und man kann jetzt hier ablesen an den Schnittpunkten des Kreises

mit dieser Achse jeweils hier, die Größen Sigma 1 und Sigma 2, die beiden Hauptspannungen, das ist sozusagen der maximale Wert

und minimale Wert, der hier auf der Normalspannungsachse eingenommen werden kann und der Winkel, der dazugehört, ist hier mit dem 2, Faktor 2 Alpha, dort dieser Drehwinkel,

den kann man auch ablesen. Genauso kann ich jetzt die maximale Schubspannung ablesen, das ist hier sozusagen dieser Wert hier oben,

das ist hier das Tau Max an der Stelle und weitere Größen, ich könnte jetzt irgendeinen beliebigen Winkel mein Koordinatensystem drehen

um irgendeinen Alpha, meinen Winkel hier hoch, also hier um irgendwie zwei Alpha, dann würde ich jetzt aus diesem Zustand hier hinkommen

und könnte jetzt hier mein Sigma Xi Xi ablesen und so weiter. Das ist also die grafische Visualisierung. Wir wollen uns jetzt an einigen einfachen

Beispielen nochmal drei Fälle anschauen, wo interessante Ergebnisse herauskommen und zwar das Beispiel im Skript ist das 2, 18, einachsiger Zug.

Das heißt wir haben ein Element, X, Y-Achse, also ich habe hier so ein kleines Stückchen und ich ziehe da dran mit, also ich habe hier Spannung

Sigma Zug sozusagen in der X Richtung und in der Y Richtung gibt es keine Spannung und es gibt auch keine Schubspannung an diesem Element.

Das ist sozusagen, wenn ich gedanklich aus einem Stab ein Stückchen rausschneiden würde. Wenn ich mir dazu den Morschenkreis hinzeichne,

dann habe ich hier Sigma und hier Tau meinetwegen stehen, dann trage ich mir halt ein, also überlege ich mir was ich habe, ich habe hier Sigma XX ist gleich Sigma, Sigma YY ist gleich 0

und das Tau XY ist ebenfalls 0. Jetzt trage ich mir die Größen ein, also ich trage mir hier Sigma XX ein, ist hier, Sigma YY ist hier und Tau ist 0.

Das heißt ich gehe hier nicht nach oben, nach unten, dann habe ich hier meinen Mittelpunkt und der Kreis ist offensichtlich, jetzt habe ich ein Gelb gemacht,

wo ist das Gelb, geht hier durch diese beiden Punkte in dieser Form, woraus man erkennt, dass hier Sigma XX gleich Sigma schon die Hauptspannung ist.

Das ist genau der Zustand, der hier auf dieser Achse liegt, das heißt ich habe hier Sigma XX gleich Sigma ist gleich Sigma 1, Sigma YY gleich 0 ist gleich Sigma 2.

Also für einen einachsigen Spannungszustand habe ich bereits die Hauptspannung, klar es ist auch irgendwie offensichtlich, dass das genau diese Richtung die Hauptspannungsrichtung ist und die andere dazu Senkrechte ist dann automatisch immer die andere Richtung.