Wo sind wir jetzt? Wir haben uns ein bisschen genauer mit normierten Vektorräumen beschäftigt und haben

gesehen, man kann sehr verschiedene Normen einführen, aber wenn man sich nur für die Frage,

in Anführungszeichen nur für die Frage, wie Konvergenz, das heißt für topologische Fragen,

für Fragen der Analysis interessiert, dann ist es egal, welche Normen man nimmt, sofern

die beiden betrachteten Normen äquivalent zueinander sind.

Das heißt, dass man sie gegenseitig gegeneinander abschätzen kann, das heißt, dass sie sich

im Extremfall nur wie festes Skalierungen zueinander verhalten.

Sie hängen zwar nicht linear im Allgemeinen zusammen, das ist auch sehr schwer zu beschreiben,

weil sie zusammenhängen, aber im Extremfall ist das einfach nur ein Wechsel, wie ich ihn

vollziehe, wenn ich in der Längenmessung von Meter auf Kilometer gehe.

Die wesentliche Feststellung war, auf endlich-dimensionalen Räumen sind alle Normen äquivalent.

Und der wichtige Schritt in die Richtung war zu zeigen, dass die Koordinatenabbildung,

die also für einen endlich-dimensionalen Vektorraum bei vorgelegter fester Basis den Vektor der

Koordinaten zuordnet, eine stetige Abbildung ist, wobei deren Umkehrabbildung auch stetig

ist.

Also stetiger Vorgang vom V zum Vektor der Alpha i zu gehen und stetig vom Vektor der

Alpha i zu V zu gehen.

Wir haben gesehen, im Lineanfall, hier geht es ja um lineare Abbildungen, heißt Stetigkeit

Beschränktheit.

Und auf der Basis haben wir jetzt, und das war jetzt der letzte Stand, diese auch sehr

wesentliche Eigenschaft gesehen, die wir hier nochmal sehen.

Wenn ich auf einem endlich-dimensionalen Raum bin oder zwischen zwei endlich-dimensionalen

Räumen und eine lineare Abbildung habe, dann ist die automatisch, dann ist die notwendigerweise

beschränkt.

Das kann man für den konkreten Fall, und das haben wir schon getan, das kann man für

den konkreten Fall der Tupelräume und damit der durch eine Matrix vermittelte Abbildung

sofort nachrechnen.

Was dann rauskommt, steht hier, wenn man zum Beispiel euklidische Norm nimmt, und wir wissen

ja, es ist in dem Sinne egal, welche Norm wir nehmen, wenn wir die euklidische Norm nehmen

auf den Tupelraum, dann können wir eine Beschränktheitskonstante ausrechnen und diese Zahl, die tut es sozusagen.

Es mag sein, dass es bessere gibt, wir werden sehen, es gibt im Allgemeinen in dieser Konstellation

bessere Zahlen als diese Zahl L, aber die tut es.

Und da erkennen wir etwas wieder, was wir schon mal als Norm für Matrizen eingeführt haben,

indem wir eine Matrix einfach als langen Vektor auffassen und dann die euklidische Norm nehmen.

Das nennt man die Frobenius Norm der Matrix, da werden wir noch zu sprechen kommen.

So, wie kommen wir jetzt von der Situation auf die allgemeine Situation?

Naja, das ist jetzt wiederum klar.

Ich bin im Vektorraum V, ich gehe mit der Koordinatenabbildung in den Tupelraum, das

ist eine stetige Abbildung, dann gehe ich mit der Darstellung, der Darstellungsmatrix

sozusagen zwischen den Koordinatentupeln in den Bildraum, das ist stetig, das ist diese

Rechnung hier und dann gehe ich mit der Umkehrabbildung von den Tupeln im Bildraum zurück zum Vektor.

Es ist auch stetig.

Und einer dieser beiden Schritte, das war nicht so ganz trivial, die Stetigkeit einzusehen

und das war im Wesentlichen der Kern, weshalb auf endlich dimensionalen Räumen alle Normen

äquivalent sind.

Aber das hängt alles sehr miteinander zusammen.

Gut, jetzt vielleicht mal ein Wort zur Vorsicht, das werden wir später noch ein bisschen vertiefen.

Beschränktheit hört sich wunderschön an, ja, sehr toll.

Beschränktheit heißt, das Bild ist höchstens ein Faktor größer in der Norm gemessen als

das Urbild, damit auch für Differenzen, damit auch für Fehler, die wir in Größen haben.