In Aufgabe 7 geht es um trigonometrische Funktionen.

In Teilaufgabe a sollen wir zeigen, dass folgende Gleichung gilt.

Sinus von x halbe ist die Wurzel aus 1 minus Cosinus von x durch 2.

Das hier ist zu zeigen.

Der Hinweis war, dass man folgendes Additionstheorien benutzt.

Ich schabe jetzt nur eins von beiden auf, weil wir auch nur dieses brauchen werden.

Und der Trick ist jetzt a und b geeignet zu wählen, dass das rauskommt, was wir gerne

haben wollen.

Wir setzen jetzt a gleich x halbe und b ebenfalls gleich x halbe.

Dann ist das gleiche wie Cosinus von x ist gleich Cosinus von x halbe zum Quadrat minus

Sinus von x halbe zum Quadrat.

Wir wollen jetzt gerne auf dieses Sinus von x halbe hinaus kommen.

Das soll jetzt hier auf der linken Seite stehen.

Also bringen wir es auf die andere Seite und schmeißen das Cosinus von x auf die andere

Seite.

Dann liefert uns das Sinus Quadrat von x halbe ist gleich Cosinus Quadrat von x halbe minus

Cosinus von x.

Jetzt nutzen wir das Sinus Quadrat von etwas plus Cosinus Quadrat von etwas gleich eins

ist.

Also ich nenne es nochmal y.

Das heißt, Sinus Quadrat von x halbe ist gleich eins minus Sinus Quadrat von x halbe minus

Cosinus von x.

Also wir wandeln diesen Term hier in diesen Term um.

Jetzt bringen wir dieses Sinus Quadrat von x halbe auf die andere Seite.

Dann steht da zweimal Sinus Quadrat von x halbe ist gleich eins minus Cosinus von x.

Das dividieren wir durch zwei.

Sinus Quadrat von x halbe ist gleich eins minus Cosinus von x durch zwei.

Wenn wir jetzt die Wurzel ziehen, Sinus von x halbe, dann ist das hier Wurzel aus.

Eins minus Cosinus von x.

Das geht halt durch zwei, was wir jetzt zeigen wollten.

So, jetzt Aufgabe A. Schauen wir uns Aufgabe B an.

Aufgabe B soll mir zeigen, dass der Limits von Cosinus x minus eins durch x gleich Null

ist.

Das war die zweite von diesen tribunometrischen Grenzwerten, die wir in der Vorlesung gesehen

haben.

Wir haben Sinus gezeigt, also in der Vorlesung haben wir gezeigt, dass Sinus von x durch

x minus eins, dass das hier gegen eins kombiniert für x gegen Null.

Na ja, hier muss auch natürlich Null stehen, nicht unendlich.

Das ist auch richtig für unendlich, aber wir wollen, dass wir Null zeigen.

Das haben wir in der Vorlesung gezeigt.

Wir werden genau die gleichen Techniken benutzen, die wir auch hier gebraucht haben.

Wir schreiben zunächst den Cosinus als der Potenzreihe.

Also eins minus x² durch zwei Fakultät plus x auf vier durch vier Fakultät minus x auf

sechs durch sechs Fakultät und so weiter.

Das bedeutet Cosinus von x minus eins, da fällt dieser Term hier weg, wenn wir das

noch durch x teilen und Betragsschritte aus- und umsetzen, dann ist das das gleiche wie

Betrag von minus x durch zwei Fakultät plus x auf drei durch vier Fakultät minus x auf fünf durch sechs Fakultät und so weiter.

Als nächstes wollen wir jetzt x ausklammern und dann bekommen wir hier minus eins durch

zwei Fakultät plus x² durch vier Fakultät minus x auf vier durch sechs Fakultät plus

minus und so weiter.