Okay, fangen wir an. Grüß Gott zusammen, schön, dass Sie da sind.

Trotz des herantreuenden Abiturs für einige. Ich hatte ja schon versprochen, es wird immer

interessanter, nachdem wir ein bisschen diesen, ja, ein bisschen trockenen Logik- und Mengenlehrenteil

hinter uns haben. Das haben wir jetzt schon fast geschafft. Letztes Mal haben wir uns etwas mit

Prätikatenlogik beschäftigt, also mit den Konstrukten für alle und es gibt und mit als

Ergänzung jetzt zu den Mengenkonstruktionen können wir jetzt auch Durchschnitte und Vereinigungen

allgemein definieren. Wir haben das machen können, das gibt, wenn wir nur endlich viele, wobei wir

den Begriff endlich noch nicht wirklich präzisiert haben, wenn wir nur endlich viele Mengen zu, sorry,

haben, also sagen wir mal, ein Stück, die wir mit Indizes 1 bis N indizieren und wenn wir nur endlich

viele haben, dann kann man sowas wie ein Durchschnitt oder die Vereinigung rekursiv definieren. Wir wissen,

was es für zwei bedeutet, dann können wir darauf aufbauend den Schnitt von zwei mit einer dritten

Menge schneiden, dann wissen wir, was es für drei bedeutet, weil wir wissen, die beiden Varianten,

die es da gibt, die sind gleich, Stichwort Assoziativität und so können wir sukzessive

hochhangeln. Jetzt kann man sich natürlich noch größere Mengensysteme vorstellen, man könnte zum

Beispiel sich ein Mengensystem mit unendlich vielen Mitgliedern vorstellen, zum Beispiel

indiziert dann mit allen natürlichen Zahlen, nicht nur mit einem Abschnitt bis zu einer Zahl N und

eigentlich kann man sich diese Indexmenge noch viel größer vorstellen als in natürlichen Zahlen,

was das dann wirklich bedeutet, dieses Indizieren, dafür brauchen wir den Abbildungsbegriff und das

ist unser eigentliches Ziel heute, den Abbildungsbegriff zu entwickeln. Aber gehen wir einfach mal davon aus,

dass wir so ein Mengensystem haben und im Moment stellen sie sich meinhaltend diese

Indexmenge i als die natürlichen Zahlen vor oder im Zweifelsfall als diesen Abschnitt der

natürlichen Zahlen. Wir werden jetzt für diese Situation eine Definition des Schnittes und der

Vereinigung angeben. Man muss dann natürlich, da wir ja schon für endlich viele Mengen eine

alternative Definition haben, muss man sich natürlich überlegen, dass die nicht im Widerspruch

zueinander stehen. Man muss also überlegen, dass das, was man sich so rekursiv für endlich viele

aufbauen kann, genau der Situation entspricht, wie ich das jetzt fassen möchte und das ist die

folgende Definition, wir haben irgendein Mengensystem, in dem gerade noch nicht ganz exakt

beschriebenen Sinne und wir nennen die eine Menge in dieser Grundmenge groß x, den Durchschnitt,

geschrieben also mit dem Durchschnittszeichen und unten schreiben wir den Bereich hin, wo die sozusagen

Laufindizes in der Mengenindizierung herkommen, das ist also ganz ähnlich zur Summenkonvention

und was meinen wir damit? Wir meinen die Elemente, die in allen Mengen enthalten sind, dass

so dass also für alle, jetzt kommt also die für alle Konstruktion, für alle alpha aus i gilt x aus

x ist Element a alpha. Das ist der Durchschnitt. Bei der Vereinigung völlig analog, auch groß

geschrieben, das Vereinigungszeichen, ähnlich Verfahren mit der Menge, die zur Indizierung

des Mengensystems herangezogen wird und jetzt meinen wir die Elemente, die in wenigstens einem

all dieser Mengen vorhanden sind, das heißt wir haben jetzt eine Esgibt-Konstruktion, es gibt ein

alpha aus i, so dass x aus a alpha ist. Also das ist noch zur Ergänzung und jetzt wollen wir uns

was Neues anschauen. Das wird auf den Begriff der Abbildung hinauslaufen, das ist das eigentliche

Ziel. Der Begriff der Abbildung wird in der Schule ein bisschen sehr stiefmütterlich behandelt,

wenn man berücksichtigt, dass es eigentlich der zentrale Begriff der Mathematik ist. Sie kennen

den Begriff der Abbildung schon in seiner Spezialform als Funktion, als was das werden wir später als

Abbildung auffassen von R nach R oder einer Teilmenge von R nach R. Da haben Sie natürlich in

dem Sinne sehr viele Funktionen gesehen, differenziert integriert, was immer mit denen

angestellt. Wir wollen jetzt diesen Begriff, wenn ich Sie jetzt frage, was ist eine, vielleicht

machen wir mal den Test, erklären Sie mir mal was eine Abbildung, was eine Funktion ist.

Können Sie mir da was anbieten? Ja? Also der Schritt mit Definitions- und Wertemenge ist

schon in die richtige Richtung. Wir wollen uns also lösen von der Vorstellung, dass wir

nur Zahlmengen haben, das können irgendwelche Objekte sein, also wesentlich abstrakte Objekte

dann irgendwann auch mal. Aber was heißt jetzt Verknüpfung? Was ist eine Verknüpfung? Jetzt

muss man dem irgendeinen Sinn geben, was das bedeuten soll. Versuchen Sie es nochmal.