Wir sind also jetzt dabei, erstmal in einem allgemeinen Rahmen,

aber jetzt schon bei ganz konkreten und hoffentlich überschaubaren Problemen,

wie dem Lösen von Gleichungssystemen, uns anzuschauen, wie stabil sind denn diese Probleme.

Das heißt also, mit welcher Fehlerverstärkung haben wir da zu rechnen?

Erstmal jenseits jedes Verfahrens, also kein Verfahren kann die Instabilität eines Problems aufheben,

im Allgemeinen zumindest.

Wir werden uns auch da ein bisschen Gedanken machen, was man da gegebenenfalls machen könnte.

Jedenfalls bei der Frage, ich habe ein Gleichungssystem, ein quadratisches Gleichungssystem,

mit einer Matrix A, die gestört ist, mit einer Matrix Delta A, ich habe eine rechte Seite B,

die gestört ist, mit einer Störung Delta B, haben wir folgenden grundlegenden Zusammenhang

zwischen den relativen Fehlern herausgefunden.

Ich kann den relativen Fehler in der Lösung, die es sich dann ergibt, abschätzen,

durch die Summe der relativen Fehler, und dann kommt ein Faktor,

und der wesentliche Anteil des Faktors ist dieses kappa A, was wir die Konditionszahl von A genannt haben.

Es gibt da noch einen zweiten Term, der macht diese Abschätzung dann exakt,

das ist ja hier ein nicht linearer Zusammenhang, sofern wir A stören,

also können wir hier keine, sozusagen, klare, globalen Lipschitzstätige Abhängigkeit erwarten.

Insofern gibt es hier noch so einen Korrekturterm, der ist aber, wenn,

zumindest wenn kappa A nicht zu groß ist, und wenn die Störung hier klein ist,

ist das ein Term in der Nähe der 1, das heißt, in erster Ordnung ist das dominiert von dem kappa A.

Also in einer linearisierten Fehlertheorie wäre die Abschätzung relativer Fehler,

lässt sich abschätzen durch kappa A, mal die Summe der relativen Fehler der Daten.

So, was ist jetzt diese, vielleicht sollte ich doch noch einen Satz vorhersagen.

Ich bin ja letztes Mal gefragt worden, wie können wir überhaupt was über den relativen Fehler aussagen,

wenn wir die Lösung nicht kennen. Vielleicht war ich ein bisschen zu verwirrt durch diese Frage,

zu verdutzt, als dass ich sie wirklich angemessen hätte beantworten können.

Natürlich ist das hier eine abstrakte Situation, natürlich wissen wir nicht,

ja, wie soll man das jetzt interpretieren?

Natürlich, wenn wir jetzt sagen, okay, ich kenne das A, ich kenne die Störungen,

dann kann ich all diese Größen exakt ausrechnen, wenn ich sie exakt ausrechnen kann.

Und da haben wir ja schon gewisse Zweifel vielleicht jetzt erhalten.

Aber was wir hier machen, ist einfach eine allgemeine Aussage über Objekte,

die wir nur sehr implizit über ihre Definition kennen, nämlich eben Lösung eines Gleichungssystems zu sein,

ohne dass wir das jetzt komponentenweise gleich hinschreiben können.

Nichtsdestotrotz können wir Aussagen darüber machen und mein Eindruck ist,

das Ganze, was Sie im letzten Jahr gemacht haben, ging in diese Richtung.

Mathematik besteht nicht darin, Objekte oder nicht nur darin, Objekte explizit hinzuschreiben,

nicht weil man das nicht möchte, sondern weil es im Allgemeinen unmöglich ist.

Sie können Wurzel 2 nicht hinschreiben, auch wenn sie Ihnen von Kindesbeinen auch vertraut ist.

Wurzel 2 ist einfach nur ein Symbol für die Lösung einer quadratischen Gleichung.

Nichtsdestotrotz können wir unendlich viel über Wurzel 2 Aussagen angefangen,

davon, dass es irrational ist und wir haben ja auch schon gesehen,

wir können beliebig gute, ganz explizite Approximationen angeben.

Und in diesem Sinne ist das halt alles zu verstehen, was wir hier machen.

Auch wenn wir hier über Objekte reden, die vielleicht nicht exakt hinschreiben können,

können wir doch viele Aussagen darüber machen und wir können,

das ist das Ziel der numerischen Mathematik, beliebig gute oder sehr gute Approximationen,

die dann sehr real dann sind für diese Objekte angeben.

Okay, also jetzt zurück zu dem Verstärkungsfaktor, das ich hier einstelle,

das ist die Konditionszahl.