Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Herzlich willkommen. Wir wollen heute zunächst einmal das Kapitel 3 zu Ende bringen.

Und zwar mit dem letzten Abschnitt 3.2 Stabilität.

Wir haben ja schon beim letzten Mal bei diesen Phasenportraits gesehen, dass es dort solche Strudel gab, die nach innen liefen oder auch nach außen liefen, je nachdem ob man positive oder negative Dämpfung hatte.

Und so ein System, das sich in den Ursprung, in die Gleichgewichtslage zurückbewegt, ist stabil. Eins, das abhaut gegen unendlich, ist instabil.

Und diese Definition wollen wir heute jetzt noch etwas näher anschauen und etwas genauer spezifizieren. Also Ziel ist es, eine qualitative Aussage zu machen über das Lösungsverhalten.

Hier jetzt speziell die Stabilität, das ist eigentlich das, was einen meistens interessiert, ohne eine Kenntnis der eigentlichen Lösung.

Weil ich zum Beispiel die Anfangsbedingungen gar nicht kenne für mein System, dann kann ich die Lösung auch nicht ausrechnen.

Trotzdem möchte ich eine Aussage machen über sozusagen das globale Verhalten des Systems. Und das macht man auf der Basis reiner Systemeigenschaften.

Systemeigenschaften, zum Beispiel halt der Eigenwerte, alternativ ginge auch der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms.

Oder sonstiger Eigenschaften der Systemmatrizen. Ja, im Prinzip ist das die volle Information.

Da kann ich die Determinante bilden, habe ich das charakteristische Polynom und daraus bekomme ich ja die Eigenwerte. Das hängt alles miteinander zusammen.

Günstig ist immer diese Eigenwertsbetrachtung, das haben wir jetzt ohnehin die ganze Zeit gemacht.

Die Eigenwerte lassen sich für ein praktisches Problem auch relativ leicht numerisch bestimmen, sodass das also hier das Mittel der Wahl ist.

Also das ist sozusagen das Ziel. Und wir verwenden eine Stabilitätsdefinition von Lyapunov.

Die ist ursprünglich mal entwickelt worden für nicht-lineare Systeme.

Wir werden es hier aber nur auf das lineare System anwenden. Ja, und zwar für ein lineares System irgendwie der Form X Punkt gleich A mal X.

Oder besser, ich schreibe nicht für, sondern ein. Da kann ich jetzt gleich weiterführen.

Was ja davon heißt, jetzt entweder stabil, wenn für jede beschränkte Anfangsbedingung, kürzig ab mit A, B,

irgendwie X0 in irgendeiner Norm kleiner Delta, also das heißt, es soll beschränkt sein, wenn man keine unendliche Auslenkung oder unendliche Geschwindigkeiten vorgeben dürfen.

Ja, also das ist ausgeschlossen. Die Lösung für alle Zeiten, die größer gleich Null, ebenfalls beschränkt bleibt.

Das heißt, man fordert, dass die Norm von X von T, also der Lösung zu jedem Zeitpunkt kleiner ist als eine andere konstante Epsilon.

Wobei das Epsilon eine Funktion von dem Delta, von dieser Schranke auf die Anfangsbedingungen sein kann, aber auf jeden Fall ist das ein fester Wert.

Er ändert sich nicht mit der Zeit oder hängt auch nicht von dem System ab, sondern ist halt irgendeine Schranke.

Gut, die Spezialisierung ist, man nennt das asymptotisch stabil,

wenn es stabil ist und außerdem gilt, dass Limes für T gegen unendlich X von T gegen Null geht.

Also wenn das Epsilon für lange Zeit Null ist, dann nennt man das asymptotisch stabil, das heißt, das System kommt zur Ruhe wirklich, keine Auslenkung, keine Geschwindigkeit.

Und die anderen beiden Fälle, die dann auch möglich sind, sind natürlich drittens das Gegenteil instabil, wenn es nicht stabil ist.

Und viertens, es gibt den Fall grenzstabil, wenn stabil,

aber nicht asymptotisch stabil.

Jetzt kann man sich dann schon die Fälle überlegen. Alle gedämpften Systeme sind stabil und auch asymptotisch stabil, das werden wir uns gleich anschauen.

Die angefachten Systeme sind instabil mit negativer Dämpfung, die gibt es keine Grenze, das System läuft gegen unendlich, das heißt, es gibt hier kein Epsilon.

Grenzstabil ist genau der Fall des ungedämpften Schwingers, der halt für alle Zeiten zwischen mit Sinus, Cosinus Funktion immer hin und her pendelt.

Da wächst die Amplitude nicht, aber sie sinkt auch nicht, das heißt, der Slimes gegen Null gilt nicht, aber es bleibt für alle Zeiten beschränkt.

Das wäre also dieser andere Fall.

Diese Aussagen bezüglich dieser vier Punkte kann man sich am leichtesten mit Hilfe von Eigenwertkriterien anschauen.

Dazu schaut man sich an, die allgemeine Lösung ist ja X von T, jetzt des freien Problems, diese Fundamentalmatrix, Phi von T, mal X0.

Gut, das X0 selber, das ist beschränkt laut Voraussetzung.

Das haben wir hier vorausgesetzt, dass das X0 beschränkt ist, das heißt, man interessiert sich jetzt nicht für die Anfangsmöglichkeit, sondern muss nur nach dem Phi schauen, nach der Fundamentalmatrix.

Phi von T kann ich aber in dieser Modalschreibweise hinschreiben als E hoch JT X hoch minus 1.

Dabei sind die Modalmatrizen X und damit auch X hoch minus 1 selber wiederum beschränkt, da stehen bloß die eigenen Formen drin, auch das ist hier beschränkt.

Das heißt, ausschlaggebend ist hier E hoch JT und jetzt kann man wieder diese beiden Fälle unterscheiden.

Fall 1 ist, dass der Defekt gleich der Vielfachheit entspricht, in dem Falle ist das E hoch JT tatsächlich das E hoch Lambda T, also der reine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonal, das sieht also irgendwie so aus hier,

E hoch Lambda 1 T bis E hoch Lambda n T. Es gibt keine Nebendiagonal Einträge, das heißt es gibt keine Säkularglieder oder dergleichen, das ist also der schöne reguläre Fall.

Das heißt, ich kann mir hier auch jede Zeile einzeln anschauen und man bekommt dann folgendes heraus.

Ich kann also E hoch Lambda T zerlegen in E hoch Realteil Lambda T mal E hoch Imaginärteil von Lambda mal T.

Das kann ich wiederum hinschreiben als E hoch Realteil von Lambda T mal Cosinus Imaginärteil Lambda T plus I Sinus Imaginärteil von Lambda mal T,

bzw. wenn das Imaginärteil von Lambda 0 ist, ist das hier 1 hier hinten, dann fällt das weg.

Ansonsten ist dieser Term aber, egal was das Imaginärteil von Lambda halt ist, immer beschränkt, weil Cosinus und Sinus immer nur zwischen minus 1 und plus 1 hin und her laufen,

das heißt da kann auch nichts passieren, das ist einfach immer beschränkt.