Ja, herzlich willkommen. Wir hatten ja letztes Mal ein Intermezzo eingeschoben zum Thema Induktion.

Wir werden heute mit unserem eigentlichen Thema zunächst einmal Aussagenlogik,

klassische Aussagenlogik fortfahren. Wir werden gegen Ende der Sitzung dann noch einmal

gewissermaßen übungshalber eine Induktion durchführen an dem syntaktischen Material,

das wir hier entwickeln. Unser Thema also wie gesagt weiterhin die Aussagenlogik. Ich erinnere

noch einmal an die Grammatik vom letzten Mal. Nicht so Grammatiken schreiben wir mit so einem

zweifach doppelpunkt gleichzeichen. Links davon stehen die Nicht-Terminale, die in der Grammatik

auftauchen. Das ist bei uns eigentlich nur eines, was wir aber mit zwei verschiedenen Namen Phi und

Phi belegen. Und dann kommen die Alternativen der Grammatik. Wir sagen also eine Formel kann

Konstant Phasum sein. Sie kann sein eine atomare Aussage aus einem Vorrat Skript A von solchen

Aussagen, denen wir uns vorgeben. Sie kann sein die Negation einer Formel oder sie kann sein die

Konjunktion zweier Formel. Ja jetzt führen wir ein paar syntaktische Konventionen ein.

Wir haben die konstant falsche Aussage. Wir hätten natürlich auch gerne eine konstant

wahre Aussage, die wir schlicht und einfach als nicht falsch definieren. Kann natürlich auch

andersrum machen, wie man will. Wir wollen neben Konjunktion auch Disjunktion. Disjunktion

definieren wir über Negation und und wie folgt. Wir sagen es ist eine von beiden Aussagen wahr,

wenn sie nicht beide gleichzeitig falsch sind. Okay das erste nicht steht schon da. Jetzt muss

folgen, dass sie beide gleichzeitig falsch sind. Also nicht Phi und nicht Phi. Also es ist nicht

der Fall, dass nicht Phi und nicht Psi gilt. So das ist die Disjunktion. Dann die Implikation.

Phi impliziert Psi. Die definieren wir als nicht Phi oder Psi. Hier mal der Deutlichkeit halber

mit Klammern. Die lasse ich in Zukunft großenteils weg. Ich füge gleich die Präzedenzen ein. Und

letztlich die Biimplikation. Das ist eine Konjunktion von Implikationen in beiden Richtungen,

so wie der Pfeil eben suggeriert. Das ist vielleicht nicht besonders hübsch geworden hier. Das soll

also sein ein Pfeil der nach links und nach rechts zeigt und er steht kurz für ein Pfeil der nach

rechts zeigt und ein Pfeil in der umgekehrten Richtung. So und ja hier habe ich eben immer

Klammern geschrieben. Das will ich eigentlich nicht dauernd machen. Also verbaren vereinbaren.

Wir haben ein paar Präzedenzen. Und bindet am, nee nicht, bindet am stärksten. Das heißt also diese

Klammer hätte ich mir sparen können. Na ja gut, hier hätte ich sie eben noch streng genommen

hinschreiben müssen, weil es da die Präzedenzen noch nicht gab. Jetzt gibt es sie also nicht,

bindet am stärksten. Dann kommt und, dann kommt oder und dann kommen gleichberechtigt impliziert

und also Implikation und Biimplikation. Und sollte man auch vielleicht mal sagen, wenn ich irgendwo

ein Gleichheitszeichen schreibe und es nicht näher kommentiere, meistens tue ich sowieso.

Dann kreide man auch schon mal besser. Das bezeichnet syntaktische Gleichheit. Also insbesondere

mache ich mal hier zwei Formeln hin, die eigentlich sehr ähnlich aussehen. Es müsste egal sein,

ob ich A und B oder B und A sage, aber syntaktisch sind die nicht gleich, wie man leicht durch

syntaktischen Vergleich feststellen kann, die eine fängt mit A an, die andere fängt mit B an.

So, machen wir kurz mal eine Tabelle darüber, wie wir uns diese Symbole eigentlich vorlesen.

Ja, ich habe es eben schon mitgelesen. Also fangen wir an mit den Konstanten. Falsch. So lesen wir

das auch vor oder wir lesen es vor lateinisch als Falsum oder als die absurde Aussage.

Gegenteil ist dementsprechend informell wahr, lateinisch verum. Gut, das sollte man wissen,

das sage ich in Wirklichkeit nicht selten, einfach weil es nicht so zu meinem aktiven

Wortschatz gehört oder eben die wahre Aussage. So eine Formel hier, Negation, lesen wir vor als

nicht Phi. Wie gesagt, Formaler Terminus dafür, Negation. So, das hier lesen wir vor als Phi und

Psi Terminus Technicus Conjunction. Das kann nicht sein, was sie hier mit der Tafel gemacht.

So, dann Phi oder Psi, lesen wir dieses umgekehrte Zeichen vor. Und das heißt Disjunktion.

So, hier, ja, das ist schon nicht mehr ganz eindeutig, wie wir das vorlesen wollen, sagen wir

als eine Lesart, wenn Phi, dann Psi oder etwas technischer. Ja, ich bitte, das nachzusehen mit

der Kreide, die Tafel nimmt keine Kreide an, also fragen Sie nach, wenn Sie was nicht lesen können.

Alternative Lesart Phi impliziert Psi, das heißt Implikation.

Und letztlich hier der Doppelpfeil. Den lesen wir vor genau dann Phi, wenn Psi oder