Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen zusammen. Ich hoffe, Sie haben sich gut erholt. Alles hat sich in Ihrem Kopf

geklärt. Es ist völlig klar, was wir jetzt hier machen. Ich habe schon das Gefühl, dass Sie jetzt

so ein bisschen vielleicht bei den letzten Beweisen, die wir durchgegangen sind, so schon die

Systematik, die dahinter steht, etwas näher gekommen sind. Also nochmal, wir haben uns eine

Grundlage geschaffen, in der wir überhaupt denken und sprechen können, in Form von Logik und

Mengenlehre. Wir haben damit unsere ersten zentralen Begriffe generiert, das ist im Wesentlichen der

Abbildungsbegriff. Wir werden, wie Sie hier sehen, fast alles mit Hilfe von Mengen und mit der Hilfe

des Abbildungsbegriffes formulieren, haben dann gesagt, was stellen wir uns denn vor, was die

natürlichen Zahlen sein sollen. Damit wissen wir streng genommen noch gar nicht, ob es so ein Objekt

überhaupt gibt. Es könnte durchaus sein, dass man das gar nicht konstruieren kann aus der

Mengenlehre, dem ist nicht so. Da sage ich vielleicht noch ganz ganz kurz was dazu, aber es

könnte durchaus sein, dass diese beiden ganz knappen Axiome, die wir formuliert haben, nämlich wir

haben eine Menge, die enthält ein Element, das nennen wir Null. Wir haben darauf eine Nachfolgerfunktion

mit der Eigenschaft, die Null ist kein Nachfolger. Jede Zahl hat also Nachfolgerfunktion, hat genau

einen Nachfolger. Diese Abbildung ist injektiv, das heißt, die Nachfolger gleich, müssen auch die

Vorgänger gleich gewesen sein und die wesentliche Eigenschaft, wenn wir eine Teilmenge der natürlichen

Zahlen haben, die die Null enthält und mit jedem Element auch seine Nachfolger, dann kann das nur

die ganze Menge der natürlichen Zahlen gewesen sein. Was Sie vielleicht jetzt mal in Übungen machen

können, das werden vielleicht Herrn Schulz und Herrn Gahn sagen, was man leicht machen kann, man kann

mal versuchen, kann ich denn mir sozusagen Beispiele bauen, die einen Teil dieser Eigenschaften erfüllen,

nicht alle, und da nicht identisch stehen mit den natürlichen Zahlen, indem ich nur eine Teilmenge

der natürlichen Zahlen nehme oder die Nachfolgerfunktion eben anders arrangiere als auf den

natürlichen Zahlen. Und das geht jedes Mal, wenn ich nur einen Teil dieser Voraussetzungen weglasse.

Also das ist wirklich sozusagen unser Fundament und mit diesem Fundament haben wir die Addition

aufgebaut, auf die Addition die Multiplikation, schon so wie in der Grundschule sozusagen, und

haben alle relevanten Eigenschaften hergeleitet. Kommutativität, Assoziativität, Distributionsgesetze,

Existenz der neutralen Elemente, Kürzungsregel etc. Und schließlich als zweiter Schritt, das

sind also die algebraischen Strukturen, das sind die Verknüpfungen und als zweiten Schritt haben wir

eine Ordnung eingeführt. Und zwar haben wir gesehen, das war das letzte, was wir nachgerechnet haben,

dass wie wir das eingeführt haben und wie wir das eingeführt haben, das steht nochmal hier.

Hier steht es als Äquivalenzaussage, aber wir haben eben diese Äquivalenzaussage einfach trivialerweise

dadurch erfüllt, dass wir das als Definition genommen haben. Wir haben gesagt, zwei Zahlen,

M ist eine Zahl M, wir reden jetzt im Moment nur über natürliche Zahlen, ist kleiner gleich N,

wenn es ein D gibt, sodass M plus D gleich N ist. Also wenn ich durch Dfaches weiterzählen,

bei der größeren Zahl ankomme. Das, was hier auf der rechten Seite steht, das macht inzwischen Sinn,

das ist die Addition mit all ihren Eigenschaften und insofern haben wir diese Relation oder

beziehungsweise hier entsprechend die Relation unter Ausschluss der Gleichheit definiert. Und was

Letztes, was wir gemacht haben, ist, wir haben die nachgerechnet, dass wir auf diese Weise wirklich

eine Ordnungsrelation definiert haben. Also etwas, was reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.

Die anderen Eigenschaften müssten wir jetzt eigentlich noch nachrechnen. Das will ich jetzt

vielleicht nicht machen, um ein bisschen Zeit zu gewinnen, dass wir ein bisschen stärker jetzt in

Inhalte, vielleicht auch in neue Inhalte eintreten können. Die natürlichen Zahlen sind ja eigentlich

etwas, was ihnen seit Kindheit geläufig sind. Aber vielleicht erinnern wir uns noch mal, was wir jetzt

noch nicht verifiziert haben, was sich aber genauso verifizieren lässt. Die Ordnung ist eine totale

Ordnung. Das heißt also, wenn ich zwei natürliche Zahlen habe, das sind immer vergleichbar, dann ist

N kleiner gleich M oder M kleiner gleich N. Es ist immer 0 kleiner gleich N, das ist sofort aus der

Definition ersichtlich, denn ich muss ja zu 0 einfach nur das N dazu addieren, um bei N herauszukommen.

Insofern ist für jede natürliche Zahl 0 kleiner gleich N. Das heißt, es ist eine untere Schranke,

gehört zu den natürlichen Zahlen dazu, ist damit das Minimum der natürlichen Zahlen.