Meine Damen und Herren, herzlich willkommen zur Vorlesung, Startung und Festigkeitslehre.

Wir waren beim letzten Mal stehen geblieben am Punkt 1.3.3 und zwar war das die Reduktion

der allgemeinen Ebenenkräftegruppe. Und zwar aus folgender Überlegung heraus,

dass man zunächst einmal bilden der resultierenden Kraft, dass man die resultierenden in X-Richtungen

als die Summe der Kräfte in X-Richtungen, also die einzelnen X-Komponenten addiert.

Die resultierenden in Y-Richtungen ist die Summe der einzelnen Komponenten in Y-Richtungen.

Und dazu kommt jetzt noch ein Moment bezüglich eines beliebig gewählten Bezugspunktes.

Und das war gerade dieses Versetzungsmoment XI FI Y minus YI mal FI X.

Und das summiere ich natürlich ebenfalls auf über alle Kräfte I, die angreifen an dem Körper.

Das war dieses Versetzungsmoment, was wir beim letzten Mal zuletzt diskutiert hatten.

Das heißt, wenn ich eine Kraft parallel verschiebe und zwar in den Punkt A,

oder die Wirkungslinie so verschiebe, dass sie durch den Punkt A geht,

dann habe ich dieses Versetzungsmoment und sollte halt eine Wirkungslinie einer Kraft

sozusagen von Haus aus schon durch diesen Punkt A gehen, dann hat sie halt keinen Moment

bezüglich dieses Punktes A und dann ist das schon erledigt. Das wird man später an Beispielen sehen.

Wenn man jetzt sich noch anschauen möchte, wie die Wirkungslinie der Resultierenden aussieht,

dann kann man das folgendermaßen ausrechnen.

Und zwar aus der Überlegung heraus, dass ja das Moment bezüglich des Punktes A

gleich dem Moment der Resultierenden Kraft sein muss, also dass ich hier habe, ist yR mal FRx minus,

ist xR natürlich genauso wie da drüben, jetzt habe ich es verkehrt rum hingeschrieben,

FRy minus so rum, yR, FRx, das muss also für die Resultierenden natürlich genauso gelten,

hier in dieser Form, dann kriege ich daraus mein wegen das yR als Funktion von xR in der Form

xR FRy minus ma durch FRx. Das heißt hier würde ich eine geraden Gleichung bekommen, die die Wirkungslinie

der Resultierenden angibt. Das rechnet man in den seltensten Fällen aus. Wir werden in Zukunft

für die Gleichgewichtsbedingungen nur diese drei Zusammenfassungen brauchen.

Das sind nämlich im Prinzip schon die Gleichgewichtsbedingungen, wenn ich im nächsten Abschnitt in eins, drei, vier fordere,

dass genau die Resultierende verschwindet, dann habe ich Gleichgewicht, dann gibt es keine Resultierende Kraft

und kein resultierendes Moment auf dem Körper. Das heißt, wenn ich das als Gleichgewicht fordere,

habe ich genau die Bedingungen, dass FRx gleich Summe der FIX gleich Null sein muss, das heißt,

die x-Komponenten müssen Null sein, FRy, FIy muss gleich Null sein und das Moment bezüglich eines beliebig gewählten

Nutzpunktes muss Null sein, das heißt MA Summe von hier x, i, f, i, y minus y, i, f, i, x muss gleich Null sein.

Das heißt, die Summe der Kräfte in x-Richtung muss verschwinden, die Summe der Kräfte in y-Richtung muss verschwinden

und die Summe der Momente bezüglich eines beliebigen Punktes muss verschwinden und man kann zeigen,

das werden wir gleich machen, dass wenn es für einen Punkt verschwindet und diese Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind,

dass auch für jeden anderen Punkt gilt, das heißt, wenn ich das für einen Punkt gezeigt habe,

gilt das dann auch für jeden anderen, womit sozusagen gezeigt ist, dass das die Wahl des Bezugspunktes beliebig ist.

Das kann man sich nochmal klar machen, eine Skizze, das ist jetzt glaube ich im Skript nicht drin,

ich habe hier irgendwie x, y, ein Koordinatensystem und ich habe einen Haufen Kräfte f1, f2 bis fi, fn

und ich wähle meinen Bezugspunkt a irgendwo und lege da auch das Koordinatensystem in diesen Bezugspunkt a.

Dann kann ich das Momentengleichgewicht hinschreiben bezüglich des Punktes a,

ich schreibe das nochmal hin, ma ist gleich Summe i gleich 1 bis n, xi fi y minus yi fi x gleich 0.

Wobei jetzt halt für die Kraft i, das mein Angriffspunkt ist, dann ist das hier xi, das hier ist yi, das sind die Hebelarme,

wenn ich die Kraft zerlege in ihre beiden Anteile fi y und fi x. Also ich zerlege mir die Kraft i in die x- und die y-Richtung

und betrachte das Moment bezüglich des Punktes a, dann dreht das fi x mit dem Hebelarm yi so herum,

die positive mathematische Richtung ist so, also minus und das fi y dreht in positiver Richtung mit dem Hebelarm xi,

die gleichen stimmt und das summiere ich halt einfach auf. Jetzt könnte ich einen zweiten anderen Bezugspunkt wählen,

den nenne ich mal b, den lege ich mal irgendwo hier hin und der hat die Koordinaten xb, yb, sei der liegt jetzt da.

Jetzt kann ich auch bezüglich dieses Punktes das Momentengleichgewicht hinschreiben, b,

das heißt ich habe jetzt m bezüglich b ist gleich Summe i gleich 1 bis n. Jetzt habe ich als Hebelarme nicht mehr das xi,

sondern bezüglich des b, das ist nur auf diese Strecke und das ist xi minus xb, das heißt ich habe hier xi minus xb mal fi y minus yi minus yb,