Schönen guten Tag, meine Damen und Herren.

Wir waren beim letzten Mal stehen geblieben im Abschnitt 2.1.2, der überschrieben war mit

dem Begriff Spannung.

Wir hatten beim letzten Mal Spannung definiert als die Kraft bezogen auf die Fläche und hatten

eingeführt den Spannungsvektor, der auf einer Schnittfläche steht, wobei die Schnittfläche

gekennzeichnet wird, typischerweise durch die Richtung ihrer Normalen.

Das heißt, wenn ich senkrecht zu den Achsen schneide, bekomme ich Schnittflächen AX, AY

und AZ, wobei eine Schnittfläche AX halt dadurch gekennzeichnet ist, dass die X-Achse auf dieser

Fläche senkrecht steht, also die normale dieser Fläche darstellt.

Den allgemeinen Spannungszustand an einem Punkt im Kontinuum bekommt man dann dadurch,

dass man an diesem Punkt 3 zueinander senkrechte Schnitte führt und sich die 3 dadurch entstehenden

Spannungsvektoren anschaut.

Typischerweise macht man das senkrecht zu den 3 Koordinatenrichtungen, das heißt einmal

senkrecht zur X-Achse, einmal senkrecht zur Y-Achse, einmal senkrecht zur Z-Achse, dann

bekomme ich 3 Spannungsvektoren, Sigma X, Sigma Y und Sigma Z-Vektor, die ich jeweils in ihre

3 Komponenten zerlegen kann.

Also ich kann den Sigma X-Vektor in seine X, Y und Z-Komponente zerlegen und das Gleiche

kann ich mit den anderen beiden machen, sodass ich insgesamt 9 Größen bekomme, die ich in

dem sogenannten Spannungstensor bzw. in der Spannungsmatrix zusammenfassen kann.

Soweit waren wir beim letzten Mal gekommen und jetzt möchte man die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen

herleiten und dazu schneidet man sich einen kleinen Würfel aus dem Kontinuum, also aus

einem beliebigen dreidimensionalen Gebiet heraus.

Und das werden wir heute machen, also Gleichgewicht zunächst einmal am

infinitesimalen Volumenelement, also ein kleiner Quadra oder kleiner Würfel, den zeichne ich

mir mal hier hin, das ist ein kleiner Würfel, ich gebe ein Koordinatensystem vor X, Y,

und Z, damit sind die positiven und negativen Schnittufer festgelegt, die ganzen Vorderseiten,

die man hier sieht, sind die positiven Schnittufer, also auf dieser Fläche, das ist ein AX, auf

dem steht die X-Achse positiv als normale, hier drüben ist es ebenfalls ein AX, allerdings

das negative Schnittufer, weil die normale hier auf diese Fläche hier hinten in negative

X-Richtung zeigt.

Hier oben ein AY, die Y-Achse zeigt in positive Richtung als normale nach oben, hier auf

der unteren Fläche zeigt die Y-Achse in negative normalen Richtung, also das ist negative Schnittufer

und für die Z-Achse, hier die Vorderseite, das positive Schnittufer, die hintere Schnittfläche,

das ist entsprechend in negative Schnittufer.

So, jetzt möchte ich den Spannungszustand angeben und das kann ich jetzt folgendermaßen

machen, das Sigma an einem Punkt P, X, Y, Z, also ich befinde mich an einem Punkt irgendwo

in meinem Kontinuum, gegeben durch die drei Koordinaten X, Y, Z, da ist das gegeben durch

diesen Matrix, diese 3 x 3 Matrix, Sigma ij, als Funktion Sigma ij von X, Y und Z, diese

9 Einträge in dieser Matrix sind abhängig vom Ort, die Spannungen können sich natürlich

von Ort zu Ort ändern, je nachdem wo ich mich in dem Kontinuum befinde, kann ich an

jeder Stelle einen anderen Spannungszustand haben, das hängt ab natürlich von den äußeren

Lasten, wie man später sehen wird.

Wenn ich mich jetzt an einen anderen Punkt des Kontinuums begebe, dann will ich mich

hier in diesem infinitesimalen Punkt hier ein Stück weiter bewegen, also das hier hinten

wäre zum Beispiel der Punkt P und dann kann ich mich ja jetzt hier an die anderen Eckpunkte

begeben, in dem ich mich jeweils um ein Stückchen dX in X Richtung fort bewege, ich kann mich

hier um ein Stückchen dy bewegen oder hier um ein Stückchen dz, das sind die Abmessungen

jedes Mal wenn ich mich um irgendein dX, dy, dz weiter bewege, ändert sich auch eventuell

der Spannungszustand und das kann ich jetzt folgendermaßen darstellen, dass ich ganz

allgemein hinschreibe Sigma ij an der Stelle X plus dx, Y plus dy und Z plus dz, also